[Download] Các bài tập về nhóm đẳng cấu.pdf – Tải File Word, PDF Miễn Phí

Các bài tập về nhóm đẳng cấu ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaTS Trần HuyênNgày 30 tháng 12 năm 2004Bài 6. Các Bài Tập Về Nhóm Đẳng CấuTheo định nghĩa, nhóm X là đẳng cấu với nhóm Y (và viết X∼=Y ) nếu tồn tại một ánh xạđẳng cấu f : X → Y . Để chỉ ra X đẳng cấu với Y theo ánh xạ f, ta viết Xf∼=Y .Quan hệ đẳng cấu trong lớp các nhóm là quan hệ tương đương, vì• Với mọi nhóm X: X1X∼=X• Nếu Xf∼=Y thì Yf−1∼=X• Nếu Xf∼=Y và Yg∼=Z thì Xgf∼=ZNhư vậy, để chứng tỏ hai nhóm X, Y là đẳng cấu với nhau ta có thể thiết lập một ánh xạ đẳngcấu từ X tới Y hay từ Y tới X hoặc có thể thiết lập các ánh xạ đẳng cấu từ X, Y tới mộtnhóm thứ ba.Ví dụ 1: Cho tập hợp các ma trận cấp hai sauA =1 a0 1: a ∈ Ra) Chứng minh rằng A là nhóm với phép nhân ma trận.b) Chứng minh rằng A∼=(R+, ·) trong đó (R+, ·) là nhóm nhân các số thực dương.Giảia) Để chứng minh A là nhóm với phép nhân ma trận ta chỉ cần chứng minh A ⊂n(M∗2, ·), trongđó (M∗2, ·) là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến. Xin dành việc kiểm tra chi tiếtcho bạn đọc.b) Để chứng minh A∼=(R+, ·) ta xây dựng ánh xạ:f : R+→ A mà ∀a ∈ R+thì f (a) =1 ln a0 11D thy f l ng cu vỡ a, b R+ta cúf(a.b) =1 ln ab0 1=1 ln a + ln b0 1=1 ln a0 11 ln b0 1= f(a)f(b)TớnhKer f =a R+: f(a) =1 ln a0 1=1 00 1=a R+: ln a = 0= {1}Vy f n cu.Hin nhiờn f ton ỏnh vỡ vi mi1 x0 1 A, tn ti a = ex R+m f (a) =1 x0 1.Vy f l ng cu: A=(R+, ã).Nhn xột 1: Chỳng ta ó khỏ quen bit vi ỏnh x ng cu ln : (R+, ã) (R, +), tnhúm nhõn cỏc s thc dng ti nhúm cng cỏc s thc, ng thi t phộp nhõn trongA:1 a0 11 b0 1=1 a + b0 1ta d phỏt hin ra: A=(R, +). Vỡ vy ta cú th chngminh A=(R+, ã) thụng qua hai ng cu ny v tht ra ỏnh x ng cu xõy dng trờn ls kt hp hai ỏnh x núi trờn.Nhn xột 2: Nu chỳng ta nh rng, mt ỏnh x song ỏnh f t mt nhúm X ti tp Y cú trangb phộp toỏn hai ngụi m f bo ton cỏc phộp toỏn thỡ khi ú Y cng l mt nhúm. V do vytrong bi toỏn trờn, kt qu cõu (a) cú th c suy trc tip t cõu (b) m khụng cn phikim tra c lp.Vớ d 2: Cho nhúm X v A, B l cỏc nhúm con chun tc ca X tha A.B = X v AB = {e}.Chng minh:a) a A, b B : ab = bab) X=A ì B2Giảia) Ta có ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thìaba−1b−1= (aba−1)b−1∈ B vì B  Xaba−1b−1= a(ba−1b−1) ∈ A vì A  XNhư vậy: aba−1b−1∈ A ∩ B = {e} tức là aba−1b−1= e ⇔ ab = ba.b) Để chứng minh X∼=A × B (tích trực tiếp của A và B) ta xây dựng ánh xạ f : A × B → Xmà với mọi (a, b) ∈ A × B thì f(a, b) = ab.• Ta kiểm tra f là đồng cấu: ∀(a1, b1), (a2, b2) ∈ A × B thìf[(a1, b1), (a2, b2)] = f(a1a2, b1b2) = a1(a2b1)b2= (a1b1)(a2b2)= f(a1, b1).f(a2, b2) ( vì a2b1= b1a2theo (a))• TínhKer f = {(a, b) : ab = e} = {(a, b) : a = b−1∈ A ∩ B}= {(a, b) : a = b−1= e} = {(e, e)}.Vậy f đơn cấu.• Tính toàn ánh của f được suy ra từ X = A.B. Thật vậy, với mọi x ∈ X, ∃a ∈ A, b ∈ Bsao cho x = ab nên tồn tại (a, b) ∈ A × B mà f(a, b) = x.Nhận xét 1: Để ý rằng tính chuẩn tắc của hai nhóm con A, B ở đây chỉ được dùng để chứngminh cho tính chất giao hoán của hai phần tử a ∈ A, b ∈ B tức là ab = ba, phục vụ cho việckiểm tra f : A × B → X là đồng cấu. Bởi vậy, một biến dạng của ví dụ 2 là: Cho A, B là cácnhóm con của X thỏa A.B = X, A ∩ B = {e} và ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba. Chứng minh rằngX∼=A × B.Nhận xét 2: Trong đẳng cấu X∼=A × B ở nhận xét 1 sẽ cho ta A  X và B  X. Như vậyvới các giả thiết A.B = X và A ∩ B = {e} của hai nhóm con A, B cho trước, hai giả thiết cònlại là A, B  X và ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thì ab = ba là tương đương nhau. Bạn hãy thử chứng minhtrực tiếp sự tương đương này được không?Ví dụ 3: Cho X là nhóm cộng giao hoán và E(X) là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của X. Xácđịnh trên E(X) phép cộng ∀f, g ∈ E(X) thì f +g : X → X mà ∀x ∈ X (f +g)(x) = f(x)+g(x).Chứng minh rằnga) E(X) là nhóm cộng giao hoán với phép cộng trênb) E(Q)∼=Q với Q là nhóm cộng các số hữu tỷ.3Giảia) Để kiểm tra E(X) là nhóm cộng giao hoán ta lần lượt kiểm tra:• Phép cộng trên E(X) là phép toán hai ngôi, nói cách khác nếu f, g : X → X là đồng cấuthì f + g là đồng cấu tức là: ∀x1, x2∈ X : (f + g)(x1+ x2)?= (f + g)(x) + (f + g)(y).• Phép cộng trên E(X) là kết hợp, giao hoán.• Phần tử 0 ∈ E(X) là ánh xạ θ : X → X mà θ(X) = 0.• ∀x ∈ E(X) thì (−f) : X → X mà (−f)(x) = −f(x) là đồng cấu và là đối của f.Tất cả các tính toán chi tiết để hoàn tất các nội dung kiểm tra trên không mấy khó khăn xinnhường cho độc giả.b) Để chứng minh E(Q)∼=Q ta thiết lập ánh xạ ϕ : E(Q) → Q mà ∀f ∈ E(Q) thì ϕ(f) = f(1).Dễ thấy ϕ là đồng cấu vì ∀f, g ∈ E(Q) thì ϕ(f +g) = (f +g)(1) = f(1)+g(1) = ϕ(f)+ϕ(g).Ta chứng minh ϕ là song ánh, tức là ∀q ∈ Q thì tồn tại và duy nhất đồng cấu f : Q → Q màf(1) = q. Đồng cấu f đó được xác định bởi công thức:∀mn∈ Q thì f(mn) =mn.qBạn đọc dễ dàng kiểm tra đây là một đồng cấu và f(1) = q. Nếu có một đồng cấu g : Q → Qmà g(1) = q thì ∀n = 0: n.g(1n) = g(n.1n) = g(1) = q. Suy ra g(1n) =qnvà do đó ∀mn∈ Q:g(mn) = m.g(1n) = m.qn=mn.q = f(mn). Vậy f = g.Do vậy, ϕ là đẳng cấu.Ngoài cách thiết lập các đẳng cấu trực tiếp giữa hai nhóm đôi khi để chứng minh hai nhómđẳng cấu với nhau trong trường hợp một nhóm được biểu diễn dưới dạng một nhóm thương tacó thể áp dụng định lý Nơte về toàn cấu nhóm. Ta nhắc lại định lý đó:Định lý (Nơte) Cho f : X → Y là toàn cấu. Khi đó tồn tại và duy nhất đẳng cấu˜f :X/Ker f→Y sao cho f =˜f.p trong đó p : X →X/Ker flà đồng cấu chiếu.Sử dụng định lý này nếu ta muốn chứng minh đẳng cấu nhóm thươngX/A∼=Y , ta chỉ cần thiếtlập toàn cấu f : X → Y sao cho Ker f = A và từ định lý ta có đẳng cấu˜f :X/A∼=Y .Ví dụ 4: Chứng minh rằng mọi nhóm cyclic hữu hạn cấp n là đẳng cấu với nhau.Phân tích: Trong các nhóm cyclic cấp n có nhóm Zn=Z/nZ. Để chứng minh các nhóm cycliccấp n đều đẳng cấu với nhau, ta chỉ cần chứng minh chúng đều đẳng cấu với Zn. Vậy lấy bấtkỳ nhóm cyclic cấp n: anta phải chứng minh Zn∼=an.GiảiCho nhóm cycilc cấp n: an. Ta xây dựng ánh xạ f : Z → annmà ∀m ∈ Z thì f (m) = am.Dễ thấy f là đồng cấu vì ∀m1, m2∈ Z ta cóf(m1+ m2) = am1+m2= am1.am2= f(m1).f(m2)Hiển nhiên f là toàn ánh. Vậy f toàn cấu. Đồng thờiKer f = {m : am= e} = {m : n|m} = nZVậy theo định lý Nơte, tồn tại đẳng cấu˜f :Z/nZ∼=anVậy mọi nhóm cyclic cấp n đều đẳng cấu với Znvà do vậy chúng đẳng cấu với nhau.Ví dụ 5: Trong nhóm nhân C∗các số phức khác 0, xét tập hợp H gồm tất cả các số phức nằmtrên trục thực và trục ảo. Chứng minh rằng H ⊂nC∗, đồng thời có đẳng cấu:C∗/H∼=D trongđó D là nhóm nhân các số phức có môđun bằng 1.4GiiTa biu din cỏc s phc thuc H di dng lng giỏc v c:H =rcosk2+ i sink2: r R+, k ZHin nhiờn H = v ta kim tra H nC, theo tiờu chun th ba: vi mi z1= r1cosk12+ i sink12,z2= r2cosk22+ i sink22thuc H, ta cúz1.z12=r1r2cos(k1 k2)2+ i sin(k1 k2)2 HVy H nC. chng minhC/H=D ta thit lp ỏnh x f : C D m f[r(cos + i sin )] =cos 4 + i sin 4 vi z = r(cos + i sin ) C. c gi cú th d dng kim tra f l ngcu v ton ỏnh!ng thiKer f = {r(cos + i sin ) : (cos 4 + i sin 4) = 1}= {r(cos + i sin ) : 4 = 2k}= {r(cos + i sin ) : =k2} = HVy, theo nh lý Nte, tn ti ng cuf :C/H=DNhn xột: Mu cht ca li gii ny l vic biu din H di dng lng giỏc, iu ú cú cnh nhn xột cỏc phn t thuc H u nm trờn hai trc cú argument l bi nguyờn ca /2.Vic xõy dng ng cu f : C D m Ker f = H, do cỏch biu din H m tha hai ũi hi:chuyn mi phn t ti phn t cú moun bng 1 (bng cỏch chia phn t ú cho chớnh mụunca nú) v chuyn mi phn t cú argument k/2 thnh phn t cú argument k2 (bng cỏchnhõn argument lờn 4 ln); t ú cho ta ỏnh x cn tỡm.Bi tp1) Chng minh rng mi nhúm cyclic vụ hn ng cu vi nhau.2) Cho X l nhúm Aben hu hn cp m.n vi (m, n) = 1. t A = {x X : xm= e},B = {x X : xn= e}. Chng minh rng X=A ì B.3) Cho Cl nhúm nhõn cỏc s phc khỏc 0, Rl nhúm nhõn cỏc s thc khỏc 0, D l nhúmnhõn cỏc s phc cú mụun bng 1. Chng minh rngC/R=D.4) Cho E(X) l nhúm cng cỏc ng cu ca nhúm cng giao hoỏn X (xem vớ d 3). Chngminh rng E(Z)=Z.5) Cho Mnv M1nl tp cỏc ma trn vuụng cp n khụng suy bin v tp cỏc ma trn cú nhthc bng 1. Chng minh rngMn/M1n=(R, ã).6) Cho f : (R, +) (R, ã) l ng cu nhúm. Chng minh rng tn ti phn t a R saocho f(x) = ax, x R.5 . tháng 12 năm 200 4Bài 6. Các Bài Tập Về Nhóm Đẳng CấuTheo định nghĩa, nhóm X là đẳng cấu với nhóm Y (và viết X∼=Y ) nếu tồn tại một ánh x đẳng cấu f : X → Y. vậy, ϕ là đẳng cấu. Ngoài cách thiết lập các đẳng cấu trực tiếp giữa hai nhóm đôi khi để chứng minh hai nhóm ẳng cấu với nhau trong trường hợp một nhóm được