Bài 1: Bất đẳng thức
Bài 3 (trang 79 SGK Đại Số 10)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bạn đang xem: Bài 3 trang 79 SGK Đại Số 10 – Giải Toán 10
a) Chứng minh (b – c)2< a2
b) Từ đó suy ra: a2+ b2+ c2 < 2(ab + bc + ca)
Lời giải
a) Theo đề bài a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)
⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0
Ta có: (b – c)2 < a2
⇔ a2 – (b – c)2 > 0
⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0
⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).
Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)
b) Chứng minh tương tự ý a) ta có :
( a – b)2 < c2 (2)
(c – a)2 < b2 (3)
Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2
⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2
⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2
⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 10
Đăng bởi: Đại Học Đông Đô
